Question

若直角三角形三邊長為正整數，且周長與面積數值相等，則稱此三角形為“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三邊長．

Answer 1

分析：設三邊長為a、b、c，其中c是斜邊，則存在勾股定理和周長等于面積這兩個等量關系，解方程組且根據a、b、c均為正整數可得a、b、c的值．

解答：解：設三邊長為a，b，c，其中c是斜邊，
則有

a2+b2=c2(1) a+b+c= ab 2 (3)

（2）代入（1）得 a2+b2=(

ab

2

-a-b)2
即

ab

4

(ab-4a-4b+8)=0
因為ab≠0所以ab-4a-4b+8=0
所以 a=4+

8

b-4

（a，b為正整數）
所以b-4=1，2，4，8，
所以b=5，6，8，12；
a=12，8，6，5；
c=13，10，10，13，
所以，三邊長為6，8，10或5，12，13．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了分類討論思想，本題中討論a、b的值是解題的關鍵．