Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，連接DE，P是DE上一點，∠BPC＝90°，延長CP交AD于點F．⊙O經過P、D、F，交CD于點G．

（1）求證：DFDP；

（2）若，，求DG的長；

（3）連接BF，若BF是⊙O的切線，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DG．（3）．

【解析】

（1）根據題目的已知條件容易得到△DFP∽△ECP，再利用相似三角形對應邊成比例即可得出結論；

（2）因為∠ADC＝90°，所以FG一定是⊙O的直徑，再根據弧、弦之間的關系得到∠DGF＝∠DFC，進而推出△FDG∽△CDF即可得到DG的長；

（3）根據直徑所對的圓周角是直角得到，P，G三點共線，再通過證明∽、∽得到線段之間的比例關系，即可得到結論．

（1）證明：∵∠BPC＝90°，E是BC的中點，

∴ ECEP．

∵ 在矩形ABCD中，ADBC，

∴ △DFP∽△ECP．

∴ ．

即 DFDP．

（2）解：連接FG．

∵ 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，

∴ FG是⊙O的直徑．

∵ E是BC的中點，

∴ ．

∵ 在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

∴ ．

∴ DFDP13－58．

∵ ⊙O中，DFDP，

∴ ．

∴ ∠DGF＝∠DFC．

又 ∠FDC＝∠FDC，

∴ △FDG∽△CDF．

∴ ．

即 ．

∴ ．

（3）．

如圖，連接BF，FG，PG，

為直徑，

，

又，

，P，G三點共線，

BF是⊙O的切線，

，

∽，

，

由（2）已得△FDG∽△CDF，

，

即，

，，

，

∽，

，

，

即．