Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．將一塊足夠大的等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．如圖①②③是旋轉三角板得到的圖形中的3種情況．
（1）三角板繞點P旋轉，當PD⊥AC時，如圖①，四邊形PDCE是正方形，則PD=PE．當PD與AC不垂直時，如圖②、③，PD=PE還成立嗎？并選擇其中的一個圖形證明你的結論．
（2）三角板繞點P旋轉，△PEB是否成為等腰三角形？若能，求出此時CE的長；若不能，請說明理由．
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，如圖④，試問線段MD和ME之間有什么數量關系？并結合圖形加以證明．

Answer 1

解：（1）PD=PE依然成立．
證明：連接PC，∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°，
即∠ACP=∠B=45°
∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE，
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE．

（2）分三種情況討論如下：
①當PE=PB，點C與點E重合，即CE=0．
②當PE=BE時，CE=1．
③當BE=PB時
若點E在線段CB上時，CE=，
若點E在CB延長線上時．

（3）過點M作MF⊥AC，MH⊥BC．
∵∠C=90°，
∴四邊形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．
∵而HB=MH，
∴
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，
即．
分析：（1）因為△ABC是等腰直角三角形，所以連接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．連接CP，就可以證明△CDP≌△BEP，再根據全等三角形的對應邊相等，就可以證明DP=PE；
（2）△PBE能成為等腰三角形，位置有四種；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對應邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數量關系．
點評：此題比較復雜，綜合考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、圖形的變換．綜合性很強，勾股定理的計算要求也比較高．