Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，﹣ ）．

（1）求拋物線的函數解析式及點A的坐標；
（2）在拋物線上求點P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由函數圖象經過原點得，函數解析式為y=ax2+bx（a≠0），

又∵函數的頂點坐標為（3，﹣ ），

∴ ，

解得： ，

故函數解析式為：y= x2﹣ x，

由二次函數圖象的對稱性可得點A的坐標為（6，0）

（2）

解：∵S△POA=2S△AOB，

∴點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2 ，

代入函數解析式得：2 = x2﹣ x，

解得：x1=3+3 ，x2=3﹣3 ，

即滿足條件的點P有兩個，其坐標為：P1（3+3 ，2 ），P2（3﹣3 ，2 ）

（3）

解：存在．

① 當點Q與點B重合時，滿足△AQO與△AOB相似，

此時點Q的坐標為（3，﹣ ）；

②當點Q與點B不重合時，

過點B作BP⊥OA，則tan∠BOP= = ，

故可得∠BOA=30°，

設Q1坐標為（x， x2﹣ x），過點Q1作Q1F⊥x軸，

∵△OAB∽△OQ1A，

∴∠Q1OA=30°，

故可得OF= Q1F，即x= （ x2﹣ x），

解得：x=9或x=0（舍去），

經檢驗得此時OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．

即可得Q1坐標為（9，3 ），

根據函數的對稱性可得Q2坐標為（﹣3，3 ）．

∴在拋物線上存在點Q，使△AQO與△AOB相似，其坐標為：（3，﹣ ）或（9，3 ）或（﹣3，3 ）

【解析】（1）根據函數經過原點，可得c=0，然后根據函數的對稱軸，及函數圖象經過點（3，﹣ ）可得出函數解析式，根據二次函數的對稱性可直接得出點A的坐標．（2）根據題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2 ，代入函數解析式可得出點P的橫坐標；（3）分情況討論，①點Q與點B重合可直接得出點Q的坐標；②點Q不與點B重合，先求出∠BOA的度數，然后可確定∠Q1OA=的度數，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q1的坐標，利用二次函數圖象函數的對稱性可得出Q2的坐標．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的圖象(二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點)，還要掌握二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．