Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=，AD=，∠B=45°，直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動（不與點C重合），一直角邊始終經過點A（如圖），斜邊與CD交于點F，設BE=x，CF=y
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）求y關于x的函數解析式，并求出當點E移動到什么位置時y的值最大，最大值是多少？
（3）連接AF，當△AEF為直角三角形時，求x的值；
（4）求點E移動過程中，△ADF外接圓半徑的最小值．

Answer 1

解：（1）∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；

（2）AB=（-）÷2×=3，
由（1）得，=，即=，
∴y=x（4-x）=-x²+x（0＜x＜4），
當x=2即E為BC的中點時，y_max=；

（3）（i）如圖i．當∠EAF=90°時，EF=AE，
∴EC=AB，即4-x=×3，
∴x=；
（ii）如圖ii：∠EFA=90°時，∴AE=EF，
∴AB=EC，即3=（4-x），
∴x=

（4）設△ADF外接圓的圓心為O，其半徑為r．
∵∠ADF=135°，
∴劣弧AF所對圓周角為45°
∴劣弧AF所對圓心角∠AOF=90°，
∴AF=r，
當AF最小時，r也最��；
又∵當CF最大時，AF最小，
此時DF=DC-CF=3-=，
作FH⊥AD于H，則FH=DH=，
∴AF_min===，
∴r_min=．
分析：（1）由題意易證∠1=∠3，從而得出△ABE∽△ECF；
（2）由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函數，求出y的最大值即可；
（3）分兩種情況①∠EAF=90°時，②∠EFA=90°時，得出x的值；
（4）設△ADF外接圓半徑為r，作FH⊥AD于H，由勾股定理可求出r的最小值．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、二次函數的最值問題以及等腰梯形的性質，是一道綜合題，難度較大．