
解:(1)∵∠AEF=∠B=∠C=45°,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°,
∴∠1=∠3,
∴△ABE∽△ECF;
(2)AB=(

-

)÷2×

=3,
由(1)得,

=

,即

=

,
∴y=

x(4

-x)=-

x
2+

x(0<x<4

),

當x=2

即E為BC的中點時,y
max=

;
(3)(i)如圖i.當∠EAF=90°時,EF=

AE,
∴EC=

AB,即4

-x=

×3,
∴x=

;
(ii)如圖ii:∠EFA=90°時,∴AE=

EF,

∴AB=

EC,即3=

(4

-x),
∴x=


(4)設△ADF外接圓的圓心為O,其半徑為r.
∵∠ADF=135°,
∴劣弧AF所對圓周角為45°
∴劣弧AF所對圓心角∠AOF=90°,
∴AF=

r,
當AF最小時,r也最;

又∵當CF最大時,AF最小,
此時DF=DC-CF=3-

=

,
作FH⊥AD于H,則FH=DH=

,
∴AF
min=

=

=

,
∴r
min=

.
分析:(1)由題意易證∠1=∠3,從而得出△ABE∽△ECF;
(2)由相似得出比例式,即可得出y是x的二次函數,求出y的最大值即可;
(3)分兩種情況①∠EAF=90°時,②∠EFA=90°時,得出x的值;
(4)設△ADF外接圓半徑為r,作FH⊥AD于H,由勾股定理可求出r的最小值.
點評:本題考查了相似三角形的判定和性質、二次函數的最值問題以及等腰梯形的性質,是一道綜合題,難度較大.