Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點．

（1）如圖1，P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q．在拋物線的對稱軸上有一動點M，在x軸上有一動點N，當6PQ﹣CQ的值最大時，求PM+MN+NB的最小值；

（2）如圖2，將△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個單位得到△A“B′C“，那么在拋物線的對稱軸DM上，是否存在點T，使得△A′B′T為等腰三角形？若存在，求出點T到x軸的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在．T到x軸的距離為或4﹣或4+或2．

【解析】

（1）令x＝0得到C（0，），令y＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），BC＝2，設直線BC解析式為y＝kx+b，計算得到直線BC解析式為y＝﹣x+，設P（m，﹣m2+m+），由題意得到BK＝；過P′作P′T⊥BK于T，作P′W∥y軸交BK于點W，根據三角函數得到NT＝NB；由B（3，0），K（0，﹣），則直線BK解析式為y＝x，根據平行線的性質及相似三角形的判定得到△P′WT∽△BKO，由相似三角形的性質結合題意進行計算，得到答案；

（2）由旋轉的性質得到A′（3，﹣4），B′（4，0），設T（1，t），由于△A′B′T為等腰三角形，所以分三種情形：①A′T＝B′T；②A′T＝A′B′；③B′T＝A′B′，進行計算，即可得到答案.

解：（1）在拋物線y＝﹣x2+x+中，令x＝0，得y＝，∴C（0，），

令y＝0，得0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），BC＝2，

設直線BC解析式為y＝kx+b，則，解得，

∴直線BC解析式為y＝﹣x+，

設P（m，﹣m2+m+），則Q（m，﹣m+），PQ＝﹣m2+m，CQ＝m

∴6PQ﹣CQ＝6（﹣m2+m）﹣m＝﹣2（m﹣）2+，

∵﹣2＜0，∴當m＝時，6PQ﹣CQ的值最大，此時，P（，），

由y＝﹣x2+x+＝-（x﹣1）2+，得拋物線對稱軸為：x＝1，

作點P關于對稱軸x＝1的對稱點P′（，），在y軸負半軸上取點K（0，﹣），連接BK交對稱軸于S，則BK＝，

過P′作P′T⊥BK于T，作P′W∥y軸交BK于點W，

在△BNT中，＝tan∠OBK＝，∴NT＝NB，

∴線段P′T長度為PM+MN+NB最小值，

∵B（3，0），K（0，﹣），∴直線BK解析式為y＝x，

∴W（，），P′W＝﹣（）＝，

∵P′W∥y軸，∴∠P′WT＝∠BKO

∵∠P′TW＝∠BOK＝90°

∴△P′WT∽△BKO

∴，P′T＝×＝，

∴PM+MN+NB最小值＝．

（2）存在．

∵△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到△A′BC'，再將△A′BC′向右平移1個單位得到△A′′B′C′′，

∴A′（3，﹣4），B′（4，0），∵點T在拋物線對稱軸直線x＝1上，∴設T（1，t）

∵△A′B′T為等腰三角形，∴分三種情形：

①A′T＝B′T，（3﹣1）2+（﹣4﹣t）2＝（4﹣1）2+（0﹣t）2，解得：t＝，

∴此時T到x軸的距離為；

②A′T＝A′B′，（3﹣1）2+（﹣4﹣t）2＝（3﹣4）2+（﹣4﹣0）2，解得：t＝﹣4+或﹣4﹣，

∴此時T到x軸的距離為4﹣或4+；

③B′T＝A′B′，（4﹣1）2+（0﹣t）2＝（3﹣4）2+（﹣4﹣0）2，解得：t＝2或﹣2，

∴此時T到x軸的距離為2；

綜上所述，T到x軸的距離為或4﹣或4+或2．