Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的圖象交x軸于點A和點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，頂點為E．

（1）如圖1，求線段AB的長度（用含a的式子表示）及拋物線的對稱軸；

（2）如圖2，當拋物線的圖象經過原點時，在平面內是否存在一點P，使得以A、B、E、P為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？如果能，求出P點坐標；如果不能，請說明理由；

（3）如圖3，當a＝3時，若M點為x軸上一動點，連結MC，將線段MC繞點M逆時針旋轉90°得到線段MN，連結AC、CN、AN，則△ACN周長的最小值為多少？

Answer 1

【答案】（1）AB＝2a﹣1，拋物線的對稱軸為x＝﹣；（2）存在，P點坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；（3）4+4．

【解析】

（1）當y＝0時，x2+3x﹣a2+a+2＝0，則[x﹣（a﹣2）][x+（a+1）]＝0，解得x＝a﹣2，或x＝﹣a﹣1，進而求出AB的長度和拋物線的對稱軸；

（2）由拋物線的圖象經過原點，a＞1，得出a＝2，此時A（﹣3，0），B（0，0），

E（-，﹣），①若AB為平行四邊形的邊，則P點坐標為（，﹣）或（，﹣）；②若AB為平行四邊形的對角線，則P點坐標為（﹣，﹣）；

（3）當a＝3時，y＝x2+3x﹣4，設M（t，0），證△MNE≌△CMF（AAS），得出MF＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，證出點N在直線l：y＝﹣x+4上運動，設直線l交x軸于點G，則G（4，0），若使△ACN的周長最小，即使AN+CN最小，作點A關于l的對稱點A'，連接A'C，則AN＝A'N，得出AN+CN最小＝A'C，求出AG＝8，AA'＝，AC＝，由勾股定理得出A'C＝，進而得出答案．

解：（1）當y＝0時，x2+3x﹣a2+a+2＝0，

∴[x﹣（a﹣2）][x+（a+1）]＝0，

∴x＝a﹣2，或x＝﹣a﹣1，

∵點A在點B左側，

∴A（﹣a﹣1，0），B（a﹣2，0），

∴AB＝a﹣2﹣（﹣a﹣1）＝2a﹣1，

拋物線的對稱軸為x＝＝﹣，即拋物線的對稱軸為x＝﹣；

（2）存在，理由如下：

∵拋物線y＝x2+3x﹣a2+a+2（a＞1）的圖象經過原點，a＞1，

∴﹣a2+a+2＝0，

解得：a＝2，或a＝﹣1（舍去），

∴a＝2，

∴A（﹣3，0），B（0，0），y＝x2+3x＝（x+）2﹣，

∴E（﹣，﹣），

分情況討論，如圖2所示：

①若AB為平行四邊形的邊，則P點坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）；

②若AB為平行四邊形的對角線，則P點坐標為（﹣，﹣）；

綜上所述，在平面內存在一點P，使得以A、B、E、P為頂點的四邊形成為平行四邊形，P點坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）；

（3）當a＝3時，y＝x2+3x﹣4，

此時A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣4），

∴OA＝4，OC＝4，

設M（t，0），

∵將線段MC繞點M逆時針旋轉90°得到線段MN，

∴OM＝﹣t，

過點M作EF⊥x軸，過點N作NE⊥EF于點E，過點C作CF⊥EF于點F，如圖3所示：

則∠MEN＝∠CFM＝90°，

由旋轉的性質得：MN＝MC，∠CMN＝90°，

∴∠EMN+∠CMF＝∠CMF+∠FCM＝90°，

∴∠EMN＝∠FCM，

在△MNE和△CMF中，

∴△MNE≌△CMF（AAS），

∴MF＝CF＝OM＝﹣t，EN＝MF＝OC＝4，

∴點N的橫坐標為Nx＝4+t，點N的縱坐標為Ny＝﹣t，

∴y＝﹣x+4，

∴點N在直線l：y＝﹣x+4上運動，

設直線l交x軸于點G，則G（4，0），

若使△ACN的周長最小，即使AN+CN最小，

∴作點A關于l的對稱點A'，連接A'C，A'N，

則AN＝A'N，

當A'、N、C三點共線時，AN+CN最�。�A'C，

由題意得：∠A'AO＝45°，∠CAO＝45°，

∴∠CAA'＝90°，

∵G（4，0），

∴AG＝OA+OG＝8，AA'＝，

∵AC＝＝，

∴A'C＝＝，

∴A'C+AC＝+，

∵△ACN的周長＝AN+CN+AC，

∴△ACN周長的最小值為A'C+AC＝4+4．