Question

直線l經過A（1，0）且與雙曲線y=在第一象限交于點B（2，1），過點P（p+1，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交于雙曲線y=和y=（x＜0）于M，N兩點，
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點C、D，點E在直線y=-x-3上，且點E在第三象限，使得，平移線段ED得線段HQ（點E與H對應，點D與Q對應），使得H、Q恰好都落在y=的圖象上，求H、Q兩點坐標．
（3）是否存在實數p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有滿足條件的p的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由點B（2，1）在y=上，有1=，即m=2．
設直線l的解析式為y=kx+b，
由點A（1，0），點B（2，1）在y=kx+b上，
得，
解得，
故所求直線l的解析式為y=x-1；

（2）∵直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點C、D，點E在直線y=-x-3上，且點E在第三象限，使得，
∴D點的橫坐標比E點的橫坐標大1，D點的縱坐標比E點的縱坐標小1；
∴H點的橫坐標比Q點的橫坐標大1，H點的縱坐標比Q點的縱坐標小1，
設H點的坐標為（u，v），Q點的坐標（u+1，v-1），則
，
解得，（不合題意舍去），
則H點的坐標為（1，2），Q點的坐標（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P點坐標為（p+1，p-1），MN∥x軸，
∴點M、N的縱坐標都為p-1，
∴M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，
∴S_△AMN=••（p-1）=2，
當p＞1時，S_△APM=（p+1-）（p-1）=（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合題意，舍去），p₂=2．
∴滿足條件的p的值為2．
分析：（1）將點B（2，1）代入y=，即可求出m的值，從而得到反比例函數的解析式；將點A（1，0），點B（2，1）分別代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）根據題意可得D點的橫坐標比E點的橫坐標大1，D點的縱坐標比E點的縱坐標小1；根據平移的性質可得H點的橫坐標比Q點的橫坐標大1，H點的縱坐標比Q點的縱坐標小1，可設H點的坐標為（u，v），表示出Q點的坐標，根據H、Q恰好都落在y=的圖象上，可得方程組求解即可；
（3）由于P點坐標為（p+1，p-1），則點M、N的縱坐標都為p-1，得到M（，p-1），N（-，p-1），可得MN=，計算出S_△AMN=••（p-1）=2，當p＞1時，S_△APM=（p+1-）（p-1）=（p²-3），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4×（p²-3）=2，然后解方程得到p₁=-（不合題意，舍去），p₂=．
點評：本題考查了反比例函數綜合題，學會待定系數法求函數解析式，平移的性質，解方程組以及會計算三角形的面積的知識．注意點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式．