Question

（2008•上海模擬）已知：如圖，AD是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足為點E，BC=8，AD=10．
求：（1）OE的長；
（2）∠B的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接OB，由直徑AD垂直于弦BC，利用垂徑定理得到E為BC的中點，同時由直徑AD的長求出半徑的長，再由BC的長求出BE的長，在直角三角形OBE中，利用勾股定理求出OE的長即可；
（2）由（1）求出的OE長，根據AO+OE求出AE的長，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB的長，最后利用銳角三角函數定義即可求出sin∠ABC的值．

解答：解：（1）連接OE，OB，如圖所示：

∵直徑AD=10，
∴AO=OB=OD=5，
又AD⊥BC，
∴E為BC的中點，又BC=8，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
在Rt△BOE中，OB=5，BE=4，
根據勾股定理得：OE=

OB2-BE2

=3；
（2）∵AO=5，OE=3，
∴AE=AO+OE=5+3=8，
在Rt△ABE中，BE=4，AE=8，
根據勾股定理得：AB=

AE2+BE2

=4

5

，
則sin∠ABC=

AE

AB

=

8

4 5

=

2 5

5

．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握定理是解本題的關鍵．