Question

如果x₁，x₂分別是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，請你解決下列問題：
（1）推導根與系數的關系：x₁+x₂=-，x₁x₂=；
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的兩個實根，利用根與系數的關系求（x₁-x₂）²的值；
（3）已知sina，cosa（0°＜a＜90°）是關于x的方程2x²-（）x+m=0的兩個根，求角a的度數．

Answer 1

解：（1）∵x₁=，x₂=，
∴：x₁+x₂=--=-，x₁x₂==；
（2）根據題意得：x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8；
（3）由題意得，sinα+cosα=，sinα•cosα=，
∵（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
∴（）²=1+2×
∴m=，
原方程變為2x²-（+1）x+=0，解這個方程得x₁=，x₂=，
∴sinα=或sinα=，
∴α=30°或60°．
分析：（1）先根據求根公式得到x₁=，x₂=，然后求他們的和與積；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=2，再變形（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后理由整體代入的方法計算；
（3）根據根與系數的關系得到sinα+cosα=，sinα•cosα=，根據三角函數的關系得到（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
則（）²=1+2×，解得m=，再把m代入原方程，解方程得到x₁=，x₂=，則sinα=或sinα=，然后根據特殊角的三角函數值確定α的度數．
點評：本題考查了根與系數的關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=，x₁x₂=．也考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角函數值．