Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=8，點E是AB邊上的一點，AE=2．過D，E兩點作直線PQ，與BC邊所在的直線MN相交于點F．
（1）求tan∠ADE的值；
（2）點G是線段AD上的一個動點，GH⊥DE，垂足為H．設DG為x，四邊形AEHG的面積為y，試寫出y與x之間的函數關系式；
（3）如果AE=2EB，點O是直線MN上的一個動點，以O為圓心作圓，使⊙O與直線PQ相切，同時又與矩形ABCD的某一邊相切．問滿足條件的⊙O有幾個？并求出其中一個圓的半徑．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD中，∠A=90°，AD=8，AE=2，
∴tan∠ADE===．

（2）∵DE===6，
∴sin∠ADE===，cos∠ADE===．
在Rt△DGH中，
∵GD=x，
∴DH=DG•cos∠ADE=x，
∴S_△DGH=DG•DH•sin∠ADE=•x•x•=x²．
∵S_△AED=AD•AE=×8×2=8，
∴y=S_△AED-S_△DGH=8-x²，
即y與x之間的函數關系式是y=-x²+8．

（3）滿足條件的⊙O有4個．
以⊙O在AB的左側與AB相切為例，求⊙O半徑如下：
∵AD∥FN，
∴△AED∽△BEF．
∴∠PFN=∠ADE．
∴sin∠PFN=sin∠ADE=．
∵AE=2BE，
∴△AED與△BEF的相似比為2：1，
∴=，FB=4．
過點O作OI⊥FP，垂足為I，設⊙O的半徑為r，那么FO=4-r．
∵sin∠PFN===，
∴r=1．
（滿足條件的⊙O還有：⊙O在AB的右側與AB相切，這時r=2；⊙O在CD的左側與CD相切，這時r=3；⊙O在CD的右側與CD相切，這時r=6）
分析：（1）在Rt△ADE中，已知AD，AE的長，根據三角函數tan∠ADE=，代入數據進行求解即可；
（2）根據y=S_△AED-S_△DGH，S_△AED=AD•AE，S_△DGH=DG•DH•sin∠ADE，故應求sin∠ADE和DH的值；
在Rt△ADE中，根據勾股定理可將DE的值求出，又知AE的長，故可將sin∠ADH的值求出；
在Rt△DGH中，根據三角函數可將DH的值求出，故將各數據代入進行求解可寫出y與x之間的函數關系式；
（3）滿足條件的⊙O有4個：⊙O在AB的左側與AB相切；⊙O在AB的右側與AB相切；⊙O在CD的左側與CD相切；⊙O在CD的右側與CD相切．⊙O在AB的左側與AB相切為例：作輔助線，過點O作OI⊥FP，垂足為I．根據AD∥FN，得：△AED∽△BEF，可知sin∠PFN，FB的值，在Rt△FOI中，根據sin∠PFN=，可將⊙O的半徑求出，其他情況同理可求解半徑r．
點評：本題綜合考查了直線與圓的位置關系，解直角三角形，二次函數的應用，三角形相似等多個知識點．