Question

27、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2、圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系．

Answer 1

分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余關系可證∠DAC=∠ECB，可證△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；
（2）此時，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用線段的和差關系得DE=AD-BE．

解答：證明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）ED=|AD-BE|．
繞點C旋轉到圖2的位置時，ED=AD-BE；
繞點C旋轉到圖3的位置時，ED=BE-AD；
繞點C旋轉垂直于AB時，DE=BE-AD=0，
綜合以上得：ED=|AD-BE|．

點評：本題考查了用旋轉法尋找證明三角形全等的條件，關鍵是利用全等三角形對應線段相等，將有關線段進行轉化．