Question

【題目】△OAB是⊙O的內接三角形，∠AOB=120°，過O作OE⊥AB于點E，交⊙O于點C，延長OB至點D，使OB=BD，連CD．

（1）求證： CD是⊙O切線；

（2）若F為OE上一點，BF的延長線交⊙O于G，連OG，，CD=6，求S△GOB．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）9.

【解析】試題分析：（1）證明BC=OB=BD，可得∠OCD=90°，所以CD是⊙O切線；

（2）先求BE=3，⊙O的半徑為6，過G作GH⊥OE于H，求GH的長也是6，即H與O重合，OG⊥OF，根據比例=，求得OF=12-6，最后利用面積和求面積．

試題解析：（1）連接BC，

∵OA=OB，OE⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵∠AOB=120°，

∴∠AOC=∠BOC=60°，

∵OC=OB，

∴BC=OB=BD，

∴CB=OD，

∴∠OCD=90°，

∴CD是⊙O切線；

（2）由（1）知：∠OCD=90°，

∵∠OEB=90°，

∴AB∥CD，

∴△OEB∽△OCD，

∴，

∴，

∴BE=3，

Rt△OEB中，sin60°=，

∴OB=3 =6，

∴OC=6，OE=3，

過G作GH⊥OE于H，

∴GH∥BE，

∴△GHF∽△BEF，

∴，

∴，

∴GH=6，

∴GH=OG=6，

即H與O重合，OG⊥OF，

∴，

∵OF+EF=OE=3，

∴OF=12﹣6，

∴S△GOB=S△GOF+S△BOF=OG=（OG+BE）=（12﹣6）（6+3）=9．