Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖（1）連接AF、CE，判斷四邊形AFCE的形狀并說明理由，再求AF的長；
（2）如圖（2）動點P、Q分別從A、E兩點同時出發，點P以每秒5cm的速度沿A→F→B→A運動，點Q以每秒→4cm沿E→C→D→E勻速運動一周，一點到達終點另一點也中止運動．若運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求AF的長；
（2）分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；

解答：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，

∠CAD=∠ACB ∠AEF=∠CFE OA=OC

，
∴OE=OF（AAS）．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形．
設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得
16+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5

（2）由作圖可以知道，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；
同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構成平行四邊形．
∴只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，
∴PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=

4

3

．
∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=

4

3

秒．

點評：本題考查了矩形的性質的運用，菱形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，解答時分析清楚動點在不同的位置所構成的圖形的形狀是解答本題的關鍵．