Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（-3，6），點B，點C分別在x軸的負半軸和正半軸上，OB，OC的長分別是方程x²-4x+3=0的兩根（OB＜OC）．
（1）求點B，點C的坐標；
（2）若平面內有M（1，-2），D為線段OC上一點，且滿足∠DMC=∠BAC，求直線MD的解析式；
（3）在坐標平面內是否存在點Q和點P（點P在直線AC上），使以O，P，C，Q為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4x+3=0，結合圖形求解；
（2）過A作AH⊥x軸于H點，可證明△CAB∽△CMD．根據相似形的性質求D點坐標，運用待定系數法求MD的解析式．
（3）根據正方形的性質可直接寫出存在的點Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．

解答：解：（1）x²-4x+3=0，
得x=3或1．
∵OB＜OC，
∴B（-1，0），C（3，0）．

（2）過A作AH⊥x軸于H點，則AH=CH=6，
∴∠ACB=45°，
同理（過M作MT⊥x軸于T點，則MT=CT=2 ）可證：∠MCD=45°，
∴∠ACB=∠MCD．
又∵∠DMC=∠BAC，
∴△CAB∽△CMD，
∴

AC

MC

=

BC

CD

．
在△AHC中，AC=

AH2+HC2

=6

2

，同理MC=2

2

，
∴

4

DC

=

6 2

2 2

，
∴DC=

4

3

，
∴OD=3-

4

3

=

5

3

，D(

5

3

，0)．
設MD的解析式為y=kx+b（k≠0），則

k+b=-2 5 3 k+b=0

，
∴

k=3 b=-5

∴函數解析式是：y=3x-5．

（3）存在．Q₁（3，3）或Q2(

3

2

，-

3

2

)．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．