Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．
（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）； 第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；
第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．
第三步，連接BD．
（2）求證：AD2=AEAB；
（3）連接EO，交AD于點F，若5AC=3AB，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

而DE⊥AC，

∴∠AED=90°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∴Rt△ADE∽Rt△ABD，

∴AD：AB=AE：AD，

∴AD2=AEAB；

（3）解：連OD、BC，它們交于點G，如圖，

∵5AC=3AB，即AC：AB=3：5，

∴不妨設AC=3x，AB=5x，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

又∵∠CAD=∠DAB，

∴弧DC=弧DB，

∴OD垂直平分BC，

∴OD∥AE，

∴OG= AC= x，∠AED=90°，

∴四邊形ECGD為矩形，

∴CE=DG=OD﹣OG= x﹣ x=x，

∴AE=AC+CE=3x+x=4x，

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△DOF，

∴AE：OD=EF：OF，

∴EF：OF=4x： x=8：5，

∴ ．

【解析】（1）根據基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點D；點D作AC的垂線，垂足為點E；（2）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，則∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到∠CAD=∠DAB，根據相似三角形的判定得到Rt△ADE∽Rt△ABD，根據相似的性質得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性質即可得到AD2=AEAB；（3）連OD、BC，它們交于點G，由5AC=3AB，則不妨設AC=3x，AB=5x，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，由∠CAD=∠DAB得到弧DC=弧DB，根據垂徑定理的推論得到OD垂直平分BC，則有OD∥AE，OG= AC= x，并且得到四邊形ECGD為矩形，則CE=DG=OD﹣OG= x﹣ x=x，可計算出AE=AC+CE=3x+x=4x，利用AE∥OD可得到△AEF∽△DOF，則AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x： x=8：5，然后根據比例的性質即可得到 的值．