Question

【題目】閱讀下列材料：

材料一：最大公約數是指兩個或多個整數共有的約數中最大的一個．我們將兩個整數a、b的最大公約數表示為(a，b)，如(12，18)=6；(7，9)=1．

材料二：求7x+3y=11的一組整數解，主要分為三個步驟：

第一步，用x表示y，得y；

第二步，找一個整數x，使得11﹣7x是3的倍數，為更容易找到這樣的x，將11﹣7x變形為12﹣9x+2x﹣1=3(4﹣3x)+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍數即可，為此可取x=2；

第三步，將x=2代入y，得y=﹣1．∴是原方程的一組整數解．

材料三：若關于x，y的二元一次方程ax+by=c(a，b，c均為整數)有整數解，則它的所有整數解為(t為整數)．

利用以上材料，解決下列問題：

（1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一組整數解；

（2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有幾組正整數解．

Answer 1

【答案】（1）；（2）原方程有5組正整數解．

【解析】

（1）先化簡原方程，由材料可求解； （2）先求出原方程的整數解，根據材料即可求解．

（1）∵(15，20)=5，(4，8)=4，

∴原方程變形為：5x+4y=99，

∴x，

∴99﹣4y是5的倍數，

∴當y=1時，x=19，

∴是原方程的解；

（2）∵5x+4y=99的有正整數解，

方程所有整數解為(t為整數)．

其中

方程所有正整數解記為(t為整數)．

當時，正整數解為：，

當時，正整數解為：，

當時，正整數解為：，

當時，正整數解為：，

∴原方程有5組正整數解．