Question

【題目】如圖，已知拋物線過點，，過定點的直線:與拋物線交于、兩點，點在點的右側，過點作軸的垂線，垂足為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在拋物線上運動時，判斷線段與的數量關系（、、），并證明你的判斷；

（3）為軸上一點，以、、、為頂點的四邊形是菱形，設點，求自然數的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）6

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線解析式；
（2）設B（，），而F（0，2），利用兩點間的距離公式得到，再利用配方法可得到，由于BC＝，所以BF＝BC；
（3）利用菱形的性質得到CB＝CF＝PF，加上CB＝FB，則可判斷△BCF為等邊三角形，所以∠BCF＝60°，則∠OCF＝30°，于是可計算出CF＝4，所以PF＝CF＝4，從而得到自然數m的值為6；

解：（1）把點（2，2），（4，5）代入得
，

解得:
所以拋物線解析式為；
（2）BF＝BC．
理由如下：
設B（，），而F（0，2），
∴，

∴，
∵BC⊥x軸，
∴BC＝，
∴BF＝BC；
（3）如圖，

m為自然數，

則點P在F點上方，
∵以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，
∴CB＝CF＝PF，
而CB＝FB，
∴BC＝CF＝BF，
∴△BCF為等邊三角形，
∴∠BCF＝60°，
∴∠OCF＝30°，
在 中，CF＝2OF＝4，
∴PF＝CF＝4，
span>∴P（0，6），
即自然數m的值為6.