Question

（2013•濱湖區二模）如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象交x軸的負半軸于點A（-5，0），交y軸于點B，過點B作BC⊥y軸交函數y=ax²+bx+c的圖象于點C（-2，4）．

（1）設函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為D，求△ABD的面積．
（2）若P為y軸上的一個動點，連接PA、PC，分別過A、C作PC、PA的平行線交于點Q，連接PQ．試探究：
①是否存在這樣的點P，使得PQ²=PA²+PC²？為什么？
②是否存在這樣的點P，使得PQ取得最小值？若存在，請求出這個最小值，并求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用二次函數對稱性得出對稱軸，進而得出D點坐標，即可得出三角形面積；
（2）①首先得出四邊形OAQC為平行四邊形，若PQ²=PA²+PC²，則PQ²=PA²+AQ²，則∠PAQ=90°即∠APC=90°，進而得出△PAO∽△CPB，以及

PO

CB

=

AO

PB

，得出這樣的點不存在；
②利用PQ取得最小值時，MP必定取得最小值，求出MP，的長，即可得出答案．

解答：解：（1）由題意知B（0，4），
∵C（-2，4），則拋物線對稱軸為：x=-1，
根據拋物線的對稱性可知：D（3，0）． 
∴S_△ABD=

1

2

×8×4=16．

（2）①不存在這樣的點P，使得PQ²=PA²+PC²．
理由如下：
∵AQ∥PC，CQ∥PA，
∴四邊形OAQC為平行四邊形．∴PC=AQ．
若PQ²=PA²+PC²，則PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°．∴∠APC=90°．
若∠APC=90°，
則當點P在線段OB上時，可得△PAO∽△CPB．
∴

PO

CB

=

AO

PB

．
設OP=m，則

m

2

=

5

4-m

，
即m²-4m+10=0．這個方程沒有實數根．
而當P點在y軸的負半軸上或在OB的延長線時，∠APC=90°顯然不可能成立． 
綜上所述，可得：不存在這樣的點P，使得PQ²=PA²+PC²． 

②連接AC交PQ于點M，如圖所示．
∵四邊形PAQC為平行四邊形，
∴M為AC、PQ的中點．
PQ取得最小值時，MP必定取得最小值．
顯然，當P為OB的中點時，由梯形中位線定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y軸．
此時MP取得最小值為：

1

2

×（2+5）=

7

2

．
∴PQ的最小值為7．
 PQ取得最小值時，P（0，2）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質和判定以及梯形的性質等知識，利用點到直線的距離得出MP的最小值是解題關鍵．