【題目】如圖,將函數y=x2﹣2x(x≥0)的圖象沿y軸翻折得到一個新的圖象,前后兩個圖象其實就是函數y=x2﹣2|x|的圖象.
(1)觀察思考
函數圖象與x軸有 個交點,所以對應的方程x2﹣2|x|=0有 個實數根;方程x2﹣2|x|=2有 個實數根;關于x的方程x2﹣2|x|=a有4個實數根時,a的取值范圍是 ;
(2)拓展探究
①如圖2,將直線y=x+1向下平移b個單位,與y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點,求b的值;
②如圖3,將直線y=kx(k>0)繞著原點旋轉,與y=x2﹣2|x|的圖象交于A、B兩點(A左B右),直線x=1上有一點P,在直線y=kx(k>0)旋轉的過程中,是否存在某一時刻,△PAB是一個以AB為斜邊的等腰直角三角形(點P、A、B按順時針方向排列).若存在,請求出k值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)3,3,2,﹣1<a<0;(2)①1或;②k=
.
【解析】試題分析:(1)|x|圖象關于x軸對稱.(2) 當直線y=x+1﹣b經過原點或與拋物線y=x2+2x只有一個交點時,與y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點,聯立方程組可得b的值(3). 作BE⊥直線x=1于E,AF⊥直線x=1于F,證明△PAF≌△BPE,聯立二次函數和一次函數解方程求k的值.
試題解析:
解:(1)函數y=x2﹣2|x|的圖象與x軸交于點(﹣2,0),(0,0),(2,0),有3個交點,∴方程x2﹣2|x|=0有3實數根,
觀察圖象可知方程x2﹣2|x|=2有2實數根,
關于x的方程x2﹣2|x|=a有4個實數根時,a的取值范圍是﹣1<a<0.
故答案為:3,3,2,﹣1<a<0.
(2)①設平移后的直線的解析式為y=x+1﹣b,觀察圖象可知,當直線y=x+1﹣b經過原點或與拋物線y=x2+2x只有一個交點時,與y=x2﹣2|x|的圖象有三個交點,∴1﹣b=0,b=1,由消去y得到x2+x﹣1+b=0,由題意△=0,∴1﹣4(﹣1+b)=0,∴b=
,綜上所述,滿足條件的b的值為1或
.
(3)如圖3中,作BE⊥直線x=1于E,AF⊥直線x=1于F.
∵∠AFP=∠PEB=∠APB=90°,∴∠APF+∠PAF=90°,∠APF+∠BPE=90°,
∴∠PAF=∠BPE,∵PA=PB,∴△PAF≌△BPE,∴AF=PE,PF=BE,
由,解得
或
,
∴A[k﹣2,k(k﹣2)],由,解得
或
,
∴B[k+2,k(k+2)],∴BE=PF=k+1,AF=PE=3﹣k,∴P(1,k2﹣3k﹣1),∴k2+2k﹣(k2﹣3k﹣1)=3﹣k,∴k=.
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【題目】國務院辦公廳在2015年3月16日發布了《中國足球發展改革總體方案》,這是中國足球史上的重大改革,為進一步普及足球知識,傳播足球文化,我市某區在中小學舉行了“足球在身邊”知識競賽,各類獲獎學生人數的比例情況如圖所示,其中獲得三等獎的學生共50名,請結合圖中信息,解答下列問題:
(1)獲得一等獎的學生人數;
(2)在本次知識競賽活動中,A,B,C,D四所學校表現突出,現決定從這四所學校中隨機選取兩所學校舉行一場足球友誼賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到A,B兩所學校的概率.
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【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點E、F.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AB=6,BC=8,求EF的長.
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【題目】如圖,四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形,a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長,易知AE=c,這時我們把關于x的形如ax+
cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”.
請解決下列問題:
寫出一個“勾系一元二次方程”;
求證:關于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有實數根;
若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一個根,且四邊形ACDE的周長是
,求△ABC面積.
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【題目】養牛場原有大牛30頭和小牛15頭,一天約用飼料675kg.一周后又購進12頭大牛和5頭小牛,這時1天約用飼料940kg.飼養員李大叔估計每頭大牛1天約需飼料1820kg,每頭小牛1天約需飼料78kg,你能通過計算檢驗他的估計嗎?
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【題目】望江中學為了解學生平均每天“誦讀經典”的時間,在全校范圍內隨機抽取了部分學生進行調查統計,并將調查統計的結果分為以下四類:每天誦讀時間t≤20分鐘的學生記為A類,20分鐘<t≤40分鐘的學生記為B類,40分鐘<t≤60分鐘的學生記為C類,t>60分鐘的學生記為D類.將收集的數據繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請根據圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)m=________%,n=________%,這次共抽取了________名學生進行調查統計;
(2)請補全上面的條形圖;
(3)如果該校共有1200名學生,請你估計該校C類學生約有多少人?
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【題目】如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y軸交于點C.若點P,Q同時從A點出發,都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.
(1)求該二次函數的解析式及點C的坐標;
(2)當點P運動到B點時,點Q停止運動,這時,在x軸上是否存在點E,使得以A,E,Q為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點坐標;若不存在,請說明理由.
(3)當P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ翻折,點A恰好落在拋物線上D點處,請判定此時四邊形APDQ的形狀,并求出D點坐標.
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