Question

【題目】對于某一函數給出如下定義：若存在實數，當其自變量的值為時，其函數值等于，則稱為這個函數的不變值．在函數存在不變值時，該函數的最大不變值與最小不變值之差稱為這個函數的不變長度．特別地，當函數只有一個不變值時，其不變長度為零．例如，圖1中的函數有0，1兩個不變值，其不變長度等于1．

（1）分別判斷函數，有沒有不變值？如果有，請寫出其不變長度；

（2）函數且，求其不變長度的取值范圍；

（3）記函數的圖像為，將沿翻折后得到的函數圖像記為，函數的圖像由和兩部分組成，若其不變長度滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）不存在不變值；存在不變值，q=3；（2）0≤q≤2；（3）≤m≤4 或m＜-0.5．

【解析】

（1）由題意得：y=x-3=x，無解，故不存在不變值；y=x2-2=x，解得：x=2或-1，即可求解；
（2）由題意得：y=x2-bx+1=x，解得：x= ，即可求解；
（3）由題意得：函數G的不變點為：2m-1+ 、2m-1- 、0、4；分x=m為G1的左側、x=m為G1的右側，兩種情況分別求解即可．

解：（1）由題意得：y=x-3=x，無解，故不存在不變值；
y=x2-2=x，解得：x=2或-1，故存在不變值，q=2-（-1）=3；
（2）由題意得：y=x2-bx+1=x，
解得：x=，
q=，1≤b≤3，
解得：0≤q≤2；
（3）由題意得：y=x2-3x沿x=m對翻折后，
新拋物線的頂點為（2m-，-），
則新函數G2的表達式為：y=x2-（4m-3）x+（4m2-6m），
當y=x時，整理得：x2-（4m-2）x+（4m2-6m）=0，
x=2m-1±，
即G2的不變點是2m-1+和2m-1-；
G1的不變點是：0和4；
故函數G的不變點為：2m-1+、2m-1-、0、4，
這4個不變點最大值的可能是2m-1+、4，最小值可能2m-1-、0，
----當x=m為G1對稱軸x=的左側時，
①當最大值為2m-1+時，
當最小值為2m-1-時，
即：0≤2m-1+-（2m-1-）≤4，
解得：0≤m≤；
當最小值為0時，
同理可得：0≤m≤；
②當最大值為4時，
最小值為2m-1-即可（最小值為0，符合條件），
即0≤4-（2m-1-）≤4，
解得：m=；
綜上：0≤m≤；
----當x=m為G1對稱軸x=的右側時，
同理可得：≤m≤；
故：≤m≤4 或m＜-0.5．