Question

如圖，已知A是等邊三角形PQR的邊RQ的延長線上的點，B是QR延長線上的點，
（1）若∠1+∠2=60°，求證：QR²=AQ•BR．
（2）若AQ=

1

2

QR，當RB與QR滿足什么條件時，△BRP∽△PQA？
（3）△BPQ有可能與△PQA相似嗎？若可能相似，說明應滿足什么條件；若不可能相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質和相似三角形的判定可以證明△APQ∽△PBR，再根據相似三角形的性質即可證明；
（2）根據相似三角形的對應邊的比相等進行求解；
（3）根據相似三角形的外角的性質進行證明．

解答：解：（1）證明：∵△PQR是等邊三角形，
∴∠PQR=∠QRP=∠QPR=60°，
∴∠A+∠1=60°，
又∵∠1+∠2=60°（三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和），
∴∠2=∠A（等量代換），
又∠AQP=∠PRB=120°（等邊三角形的外角），
∴△AQP∽△PRB（4分），
∴

PR

AQ

=

BR

PQ

，
又PQ=PR=QR，
即QR²=AQ•BR；

（2）∵∠AQP=∠PRB=120°，
∴當

RB

PR

=

AQ

QR

=

AQ

QP

=

1

2

（2分），或

RB

PR

=

QR

AQ

=

QP

AQ

=2時，（1分）
即當  RB=

1

2

QR或RB=2QR時，△BRP∽△PQA；（1分）

（3）不可能．（1分）
∵∠PQB=60°，
而∠AQP=120°＞∠PQB．
又∠A＜∠PQB，∠APQ＜∠PQB．
（三角形的外角大于不相鄰的兩個內角）
所以△BPQ與△PQA不可能相似．（1分）

點評：此題綜合考查了等邊三角形的性質、相似三角形的性質及判定、三角形的外角的性質，是一道好題．