Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）。

（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最��？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；
（4）設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標。

Answer 1

解：（1）∵點D是OA的中點 ∴OD=2， ∴OD=OC 又∵OP是∠COD的角平分線， ∴∠POC=∠POD=45°， ∴△POC≌△POD， ∴PC=PD。 （2）過點B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點P即為所求 易知點F的坐標為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF， ∵△PBF是等腰直角三角形， ∴PM=BF=1， ∴點P的坐標為（3，3） ∵拋物線經過原點， ∴設拋物線的解析式為y=ax2+bx 又∵拋物線經過點P（3，3）和點D（2，0）， ∴有 解得 ∴拋物線的解析式為。 （3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于∠AOC的平分線的對稱點即為C點 連接EC，它與∠AOC的平分線的交點即為所求的P點（因為PE+PD=EC，而兩點之間線段最短）， 此時△PED的周長最小 ∵拋物線y=x2-2x的頂點E的坐標（1，-1），C點的坐標（0，2）， 設CE所在直線的解析式為y=kx+b 則有 解得 ∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2 點P滿足 解得 故點P的坐標為 △PED的周長即是。 （4）存在點P，使∠CPN=90度，其坐標是或。