Question

【題目】已知，拋物線y＝x2﹣x+與x軸分別交于A、B兩點（A點在B點的左側），交y軸于點F．

（1）A點坐標為　 　；B點坐標為　 　；F點坐標為　 　；

（2）如圖1，C為第一象限拋物線上一點，連接AC，BF交于點M，若BM＝FM，在直線AC下方的拋物線上是否存在點P，使S△ACP＝4，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，D、E是對稱軸右側第一象限拋物線上的兩點，直線AD、AE分別交y軸于M、N兩點，若OMON＝，求證：直線DE必經過一定點．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直線AC下方的拋物線上不存在點P，使S△ACP＝4，見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據坐標軸上點的特點建立方程求解，即可得出結論；

（2）在直線AC下方軸x上一點，使S△ACH＝4，求出點H坐標，再求出直線AC的解析式，進而得出點H坐標，最后用過點H平行于直線AC的直線與拋物線解析式聯立求解，即可得出結論；

（3）聯立直線DE的解析式與拋物線解析式聯立，得出，進而得出，，再由得出，進而求出，同理可得，再根據，即可得出結論．

（1）針對于拋物線，

令x＝0，則，

∴，

令y＝0，則，

解得，x＝1或x＝3，

∴，

綜上所述：,,；

（2）由（1）知，，，

∵BM＝FM，

∴，

∵，

∴直線AC的解析式為：，

聯立拋物線解析式得：，

解得：或，

∴，

如圖1，設H是直線AC下方軸x上一點，AH＝a且S△ACH＝4，

∴，

解得：，

∴，

過H作l∥AC，

∴直線l的解析式為，

聯立拋物線解析式，解得，

∴，

即：在直線AC下方的拋物線上不存在點P，使；

（3）如圖2，過D，E分別作x軸的垂線，垂足分別為G，H，

設，，直線DE的解析式為，

聯立直線DE的解析式與拋物線解析式聯立，得，

∴，，

∵DG⊥x軸，

∴DG∥OM，

∴，

∴，

即，

∴，同理可得

∴，

∴，

即，

∴，

∴直線DE的解析式為，

∴直線DE必經過一定點．