Question

【題目】如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連接OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E．

（1）求證：直線CD是⊙O的切線；

（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2：3

【解析】試題分析：

（1）連接OD，由OD=OA可得∠ODA=∠OAD，由AD∥OC可得：∠OAD=∠COD，∠ODA=∠COD，從而可得∠COD=∠BOC，這樣結合OD=OB，OC=OC即可證得△COD≌△COB，由此可得到∠ODC=∠OBC=90°，即可得到直線CD是⊙O的切線；

（2）由△COD≌△COB可得CD=BC結合DE=2BC可得DE=2CD，再證△EAD∽△EOC即可由相似三角形的性質求得AD：OC的比值了.

試題解析：

（1）證明：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD∥OC，

∴∠OAD=∠COD，∠ODA=∠COD，

∴∠COD=∠BOC，

在△COD和△BOC中： ，

∴△COD≌△BOC，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴CD為圓O的切線；

（2）∵△COD≌△COB，

∴BC=CD，

∵DE=2BC，

∴DE=2CD，

∵AD∥OC，

∴△DAE∽△COE，

∴AD：OC=ED：AC=2：3．