Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，分別以AB、AC為邊向形外作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．
（1）求∠DBC的度數；
（2）求證：BD=CE；
（3）若連接BE、CD，試判斷BE、CD是否相等，并對結論給予證明．

Answer 1

（1）解：∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°，
∵以AB、AC為邊向形外作兩個等腰直角三角形ABD和ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠DBC=75°+45°=120°；

（2）證明：∵△ADB和△ACE都是等腰直角三角形，且AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE，
在△ADB和△ACE中，
，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴BD=EC；

（3）BE=CD，
理由：由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=CD．
分析：（1）根據等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB，進而得出∠DBC的度數；
（2）利用等腰直角三角形的性質得出AB=AD=AC=AE，進而得出△ADB≌△ACE，即可得出答案；
（3）由（2）得，AB=AD=AC=AE，∠EAC=∠DAB=90°，得出∠EAB=∠DAC，進而利用全等三角形的判定得出△DAC≌△BAE，進而得出答案．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質，根據已知得出∠ABC=∠ACB和∠EAB=∠DAC是解題關鍵．