Question

已知菱形ABCD，現將三角形紙片的一個角的頂點與A重合，適當地繞點A旋轉該三角形紙片，使∠EAF=∠ABC．連接AC．
（1）如圖1，若∠ABC=90°，求證：CE+CF=AC；
（2）如圖2，若∠ABC=60°，線段CE、CF、AC三條線段的數量關系是否改變？若改變直接寫出結論；若不改變請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若菱形ABCD的周長是12，CF=1，求線段AF的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠B=∠D，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE+CF=2BC，
∵BC=AC，
∴CE+CF=AC；

（2）解：線段CE、CF、AC三條線段的數量關系改變．
∵∠ABC=60°，∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AC，
∴△ABE≌△CAF，
∴BE=CF，
∴CE+CF=BC=AC．
故線段CE、CF、AC三條線段的數量關系改變；

（3）解：∵菱形ABCD的周長是12，
∴AB=BC=AC=3，
在△ACF中，AC=3，CF=1，∠ACF=60°，
根據余弦定理，cos60°=，
即=，
解得AF=．
分析：（1）根據題干條件首先證明∠BAE=∠DAF，然后證明△ABE≌△ADF，得BE=DF，再利用正方形的性質即可得到CE+CF=AC；
（2）根據題干條件首先證明∠BAE=∠CAF，然后證明△ABE≌△CAF，得BE=CF，再利用菱形的性質即可證明出線段CE、CF、AC三條線段的數量關系．
（3）首先根據菱形的周長求出AC的長，然后在△ACF中，AC=3，CF=1，∠ACF=60°，利用余弦定理求出AF的長．
點評：本題主要考查正方形的性質和全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質和勾股定理的應用，此題難度一般．