Question

已知：如圖，扇形OAB和扇形OA′B′的圓心角相同，設AA′=BB′=d．

AB

=l₁，

A′B′

=l₂．
求證：圖中陰影部分的面積S=

1

2

(l1+l2)d．

Answer 1

分析：設∠AOB=n°，OA′=OB′=r，根據弧長公式用l₁，l₂表示出r，再根據S_陰影=S_扇形OAB-S_{扇形OA′B′}進行計算即可得出結論．

解答：證明：設∠AOB=n°，OA′=OB′=r，
∵

AB

=l₁，

A′B′

=l₂．
∴l₁=

nπ(r+d)

180

，l₂=

nπr

180

，
∴

l1

l2

=

r+d

r

，
∴r=

l2d

l1-l2

①，
∵S_陰影=S_扇形OAB-S_{扇形OA′B′}=

1

2

l₁（r+d）-

1

2

l₂r=

1

2

（l₁r+l₁d-l₂r）
=

1

2

[（l₁-l₂）r+l₁d]
=

1

2

[（l₁-l₂）×

l2d

l1-l2

+l₁d]
=

1

2

（l₂d+l₁d）
=

1

2

（l₁+l₂）d．

點評：本題考查的是扇形面積的計算及弧長公式，根據弧長公式用l₁，l₂表示出r的值是解答此題的關鍵．