Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內，過點P作⊙O的切線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B。
（1）點P在運動時，線段AB的長度也在發生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；
（2）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q，O，A，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）線段AB長度的最小值為4， 理由如下： 連接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中點C，則AB=2OC； 當OC=OP時，OC最短， 即AB最短，此時AB=4； （2）設存在符合條件的點Q， 如圖①，設四邊形APOQ為平行四邊形； ∵∠APO=90°， ∴四邊形APOQ為矩形， 又∵OP=OQ， ∴四邊形APOQ為正方形， ∴OQ=QA，∠QOA=45°； 在Rt△OQA中，根據OQ=2，∠AOQ=45°， 得Q點坐標為（，-）； 如圖②，設四邊形APQO為平行四邊形； ∵OQ∥PA，∠APO=90°， ∴∠POQ=90°， 又∵OP=OQ， ∴∠PQO=45°， ∵PQ∥OA， ∴PQ⊥y軸； 設PQ⊥y軸于點H， 在Rt△OHQ中，根據OQ=2，∠BQO=45°， 得Q點坐標為（-，）， ∴符合條件的點Q的坐標為（，-）或（-，）。