Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結論中正確的結論有（    ）個
①EF是△ABC的中位線．
②以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；
③設OD=m，AE+AF=2n，則S_△AEF=mn；
④；

（A）1個       （B）2個      （C）3個     （D）4個

Answer 1

C

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故①正確；
過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③正確；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴EB=EO，FO=FC，
∴EF=EO+FO=BE+CF，
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故④正確．
∴其中正確的結論是①③④．故選C．