Question

某公司投資700萬元購甲、乙兩種產品的生產技術和設備后，進行這兩種產品加工．已知生產甲種產品每件還需成本費30元，生產乙種產品每件還需成本費20元．經市場調研發現：甲種產品的銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），當35≤x＜50時，y與x之間的函數關系式為y=20-0.2x；當50≤x≤70時，y與x的函數關系式如圖所示，乙種產品的銷售單價，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩定在10萬件．物價部門規定這兩種產品的銷售單價之和為90元．
（1）當50≤x≤70時，求出甲種產品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數關系式．
（2）若公司第一年的年銷售量利潤（年銷售利潤=年銷售收入-生產成本）為W（萬元），那么怎樣定價，可使第一年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少？
（3）第二年公司可重新對產品進行定價，在（2）的條件下，并要求甲種產品的銷售單價x（元）在50≤x≤70范圍內，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤之和-投資成本）不低于85萬元．請直接寫出第二年乙種產品的銷售單價m（元）的范圍．

Answer 1

解：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），
∵函數圖象經過點（50，10），（70，8），
∴，
解得，
所以，y=-0.1x+15；

（2）∵乙種產品的銷售單價在25元（含）到45元（含）之間，
∴，
解之得45≤x≤65，
①45≤x＜50時，W=（x-30）（20-0.2x）+10（90-x-20），
=-0.2x²+16x+100，
=-0.2（x²-80x+1600）+320+100，
=-0.2（x-40）²+420，
∵-0.2＜0，
∴x＞40時，W隨x的增大而減小，
∴當x=45時，W有最大值，W_最大=-0.2（45-40）²+420=415萬元；
②50≤x≤65時，W=（x-30）（-0.1x+15）+10（90-x-20），
=-0.1x²+8x+250，
=-0.1（x²-80x+1600）+160+250，
=-0.1（x-40）²+410，
∵-0.1＜0，
∴x＞40時，W隨x的增大而減小，
∴當x=50時，W有最大值，W_最大=-0.1（50-40）²+410=400萬元．
綜上所述，當x=45，即甲、乙兩種產品定價均為45元時，第一年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是415萬元；

（3）根據題意得，W=-0.1x²+8x+250+415-700=-0.1x²+8x-35，
令W=85，則-0.1x²+8x-35=85，解得x₁=20，x₂=60．
又由題意知，50≤x≤65，根據函數性質分析，50≤x≤60，
即50≤90-m≤60，
∴30≤m≤40．
分析：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），然后把點（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解；
（2）先根據兩種產品的銷售單價之和為90元，根據乙種產品的定價范圍列出不等式組求出x的取值范圍是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65兩種情況，根據銷售利潤等于兩種產品的利潤之和列出W與x的函數關系式，再利用二次函數的增減性確定出最大值，從而得解；
（3）用第一年的最大利潤加上第二年的利潤，然后根據總盈利不低于85萬元列出不等式，整理后求解即可．
點評：本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，本題最大的特點就是要根據x的范圍的不同分情況列出不同的函數關系式，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=時取得．