Question

如圖，在平面直角坐標系中,拋物線y=-x²+2x+c與y鈾交于點D(0，3)。
（1）直接寫出c的值。
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(點B在點A的右側)，頂點為C點,求直線BC的解析式。
（3）已知點P是直線BC上運動時的一個動點。    
①當點P在線段BC上運動時(點P不與B、C重合)，過點P作PE⊥y軸，垂足為 E，連接BE。設點P的坐標為(x，y)，△PBE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；    
②試探索：在直線BC上是否存在點P，使得以點P為圓心、r為半徑的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點 C為圓心、1為半徑的⊙C外切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。
[提示：二次函數y=ax²+bx+c的頂點坐標為]

Answer 1

解：( 1 ) c = 3. (2)由(1)知拋物線的解析式為y=， 配方得y=-（x-1）2+4， ∴頂點 C 的坐標為(1，4)         令y=0，解得 ， ∴B(3，0).             設直線BC的解析式為y = kx + b(k≠0)， 把B、C兩點的坐標代入， 得 解得 ∴直線BC的解析式為y=-2x +6.       (3)①點P(x，y)在y= - 2x +6的圖象上， ∴PE = x，OE = -2x+6，                     ∴S =PE. OE =x(一2x +6)=-x2+ 3x，  ∴ S = - x2+ 3x( 1 < x < 3 ) ,                  S=+ 3x( 1 < x < 3 ) ,                 x=符合1 <x<3， ∴ 當x =時，S取得最大值，最大為   ②存在.                                     如圖，設拋物線的對稱軸交x軸于點F， 則 CF =4，BF =2.  過P作PQ⊥CF于Q， 則Rt△CPQ∽Rt△CBF , ∴, 即， ∴CQ=2r             當⊙P與⊙C外切時，CP=r+1 。 ∵, ∴解得，（舍去）       ∴P點的橫坐標為，或。 此時，.