Question

【題目】已知：內接于，過點作直線，為非直徑的弦，且是的切線

求證：；

若，，連接并延長交于點，求由弧、線段和所圍成的圖形的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結并延長交于，連結，由圓周角定理可知∠H=∠A，∠HCB=90°，根據切線性質可知∠OBF=90°，根據，，可證明H=∠CBF，即可證明∠A=∠CBF；（2）在Rt△HCB中，由BC=2，∠H=∠A=30°得到HB=4，OB=2，又∠BOM=2∠A=60°，根據三角函數可以求出MB，而

S=S△OBM-S扇形OBC=，由此即可求出由弧BC、線段BM和CM所圍成的圖形的面積．

連結并延長交于，連結，則．

∵是直徑，

∴，

∴．

又∵是半徑，是的切線，

∴，

∴，

∴，

∴；

∵在中，，，

∴，．

∵，

∴．

，

故由弧、線段和所圍成的圖形的面積為．