Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于點A，點B，動點P在第一象限內，由點P向軸，軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點E，點F，當點P運動時，矩形PMON的面積為定值2．

   （1）求的度數；

   （2）求證：△∽△；

（3）當點E，F都在線段AB上時，由三條線段

       AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角

      形的外接圓面積為，△的面積為．

      試探究：是否存在最小值？若存在，

請求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1） 45°；

   （2）由題意可得：點，點，

， ,

45°，由得， 即

        所以∽；

當點F在第二象限或點E在第四象限時，同理可證.

   （3）設的面積分別是顯然

均為等腰直角三角形，從而它們都相似，故由相似三角形的性質可得到：

，  

        由于

        從而有    得到  ，

故以三線段AE,EF,BF所組成的三角形為直角三角形.

（或代數計算或翻折或旋轉等方法同樣可證得）

    故  ，

            ,

       從而，

      令，

；

     當，時，，，當且僅當時取“=”，

則，當且僅當時，等號成立；·· 9分

  根據二次函數的圖象與性質，可得： 

       當時，有最小值為：

.