【題目】如圖1,點為線段
上任意一點(不與點
重合),分別以
為一腰在
的同側作等腰
和
,
,
,
,連接
交
于點
,連接
交
于點
,
與
交于點
,連接
.
線段
與
的數量關系為 ;請直接寫出
;
將
繞點
旋轉到如圖2所示的位置,其他條件不變,探究線段
與
的數量關系,并說明理由;求出此時
的度數;
在
的條件下求證:
.
【答案】(1) ;(2)
,
,理由見解析;(3)見解析
【解析】
(1)只要證明△ACE≌△DCB,即可解決問題;
(2)只要證明△ACE≌△DCB,即可解決問題;
(3)如圖2-1中,分別過C作CH⊥AE,垂足為H,過點C作CG⊥BD,垂足為G,利用面積法證明CG=CH,再利用角平分線的判定定理證明∠DPC=∠EPC即可解決問題;
如圖1中,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠DCB,
又∵CA=CD,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB.
∴AE=BD,∴CAE=∠CDB,
∵∠AMC=∠DMP,
∴∠APD=∠ACD=30°,
故答案為AE=BD,30°
如圖2中,結論:
,
.
理由:∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠DCB,
又∵CA=CD,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB.
∴AE=BD,∴CAE=∠CDB,
∵∠AMP=∠DMC,
∴∠APD=∠ACD=30°.
證明:如圖2-1中,分別過
作
于
,過點
作
于
,
∵△ACE≌△DCB.
∴AE=BD,
∵S△ACE=S△DCB(全等三角形的面積相等),
∴CH=CG,
∴∠DPC=∠EPC(角平分線的性質定理的逆定理),
∵∠APD=∠BPE,
∴∠APC=∠BPC.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】學校某社團為了調查同學們上學時所使用交通工具的情況,隨機抽取了部分同學進行調查,要求調查者從“:公交車”“
:家庭汽車”“
:地鐵”“
:自行車”“
:其他”五個選項中選擇最常用的一項,將所有調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整條形統計圖和扇形統計圖,請結合統計圖解答下列問題:
(1)表示組的扇形統計圖所對應的圓心角是________度,補全條形統計圖;
(2)若社團想從組的甲、乙,丙、丁四人中隨機選擇兩人,了解他們使用的電動車品牌情況,請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中乙的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】【發現證明】
如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數量關系.
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發現并證明了EF=BE+FD.
【類比引申】
(1)如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據小聰的發現給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數量關系,并證明;
【聯想拓展】
(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作發現
如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C旋轉,當點D恰好落在AB邊上時,填空:
①線段DE與AC的位置關系是_________;
②設△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數量關系是____________.
(2)猜想論證
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數量關系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,點D是其角平分線上一點,BD=CD=4,DE//AB交BC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使,請直接寫出相應的BF的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知,在一個盒子里有紅球和白球共10個,它們除顏色外都相同,將它們充分搖勻后,從中隨機抽出一個,記下顏色后放回.在摸球活動中得到如下數據:
摸球總次數 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 |
摸到紅球的頻數 | 17 | 32 | 44 | 64 | 78 |
| 103 | 122 | 136 | 148 |
摸到紅球的頻率 | 0.34 | 0.32 | 0.293 | 0.32 | 0.312 | 0.32 | 0.294 |
| 0.302 |
|
(1)請將表格中的數據補齊;
(2)根據上表,完成折線統計圖;
(3)請你估計,當摸球次數很大時,摸到紅球的頻率將會接近 (精確到0.1).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數y=﹣x+5的圖象與反比例函數(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,n)和B兩點.
(1)求反比例函數的解析式及點B坐標;
(2)在第一象限內,當一次函數y=-x+5的值大于反比例函數(k≠0)的值時,寫出自變量x的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1所示,將一副三角尺的直角頂點重合在點O處.
①∠AOC與∠BOD相等嗎?說明理由;
②∠AOD與∠BOC數量上有什么關系嗎?說明理由.
(2)若將這副三角尺按圖2所示擺放,直角頂點重合在點O處,不添加字母,分析圖中現有標注字母所表示的角;
①找出圖中相等關系的角;
②找出圖中互補關系的角,并說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一副三角板和
拼合在一起,邊
與
重合,
,
,
,
.當點
從點
出發沿
向下滑動時,點
同時從點
出發沿射線
向右滑動.當點
從點
滑動到點
時,連接
,則
的面積最大值為_______
.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知,
,其中
,
滿足
,點
為第三象限內一點.
(1)若到坐標軸的距離相等,
,且
,求
點坐標
(2)若為
,請用含
的式子表示
的面積.
(3)在(2)條件下,當時,在
軸上有點
,使得
的面積是
的面積的2倍,請求出點
的坐標.
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