Question

如圖，已知直線y=x+8交x軸于A點，交y軸于B點，過A、0兩點的拋物線y=ax²+bx（a＜O）的頂點C在直線AB上，以C為圓心，CA的長為半徑作⊙C．
（1）求拋物線的對稱軸、頂點坐標及解析式；
（2）將⊙C沿x軸翻折后，得到⊙C′，求證：直線AC是⊙C′的切線；
（3）若M點是⊙C的優弧（不與0、A重合）上的一個動點，P是拋物線上的點，且∠POA=∠AM0，求滿足條件的P點的坐標．

Answer 1

解：（1）如圖，由直線y=x+8圖象上點的坐標特征可知，A（-8，0），B（0，8）
∵拋物線過A、O兩點
∴拋物線的對稱點為x=-4
又∵拋物線的對稱點在直線AB上，
∴當x=-4時，y=4
∴拋物線的頂點C（-4，4）
，
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x；

（2）連接CC′、C′A
∵C、C′關于x軸對稱，設CC′交x軸于D，則CD⊥x軸，且CD=4，AD=4
△ACD為等腰直角三角形
∴△AC′D也為等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC過⊙C′的半徑C′A的外端點A
∴AC是⊙C′的切線；

（3）∵M點是⊙O的優弧上的一點，
∴∠AMO=∠ABO=45°，
∴∠POA=∠AMO=45°
當P點在x軸上方的拋物線上時，
設P（x，y），則y=-x，
又∵y=-x²-2x
∴
解得
此時P點坐標為（-4，4）當P點在x軸下方的拋物線時，設P（x，y）
則y=x，又∵y=--2x
∴
解得
此時P點的坐標為（-12，-12）
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-4，4）或（-12，-12）
分析：（1）根據拋物線過A（-8，0），B（0，0）兩點可求出其對稱軸方程，得C點的橫坐標，再根據C點在直線y=x+8上，可求出C點的坐標，即拋物線的頂點坐標．用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）連接CC′、C′A，C、C′關于x軸對稱，根據對稱的性質可知x軸是線段CC′的垂直平分線，故△ACC'是等腰三角形，因為點C（-4，4），所以∠CAO=45°，根據等腰三角形的性質可知∠CAC′=2∠CAO=90°，AC過⊙C′的半徑C′A的外端點A，根據切線的定義可知直線AC是⊙C，的切線；
（3）根據C點坐標可知∠ABO=45°，由圓周角可得∠AMO=∠ABO=45°，
設P（x，y）當||=1，即y=x或y=-x時∠POA=45°，故應分y=x，y=-x時兩種情況分別代入原函數解析式求出P點坐標．
點評：本題綜合考查了一次函數、二次函數圖象上點的坐標特點及圓的相關知識，比較復雜，但難度適中．