Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，F是邊DC上的一點，且DF：FC=1：2，E為BC的中點，連接AE、AF、EF，求：
（1）△AEF的周長；
（2）△AEF的面積．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，BC=CD=AD=AB=6，
∵DF：FC=1：2，
∴DF=2，FC=4，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=3，
在Rt△ADF中：AF===2，
在Rt△FCE中：EF===5，
在Rt△ABE中：AE===3，
∴△AEF的周長為：AE+EF+AF=2+5+3；

（2）過A作AM⊥EF，
設MF=x，則ME=5-x，
∵AM²=AF²-MF²=AE²-EM²，
∴40-x²=45-（5-x）²，
解得：x=2，
∴AM===6，
∴△AEF的面積是：•EF•AM=×5×6=15．
分析：（1）首先根據題中的條件計算出線段DF、FC、EC、BE的長，再利用勾股定理分別計算出△AEF的三邊長，即可求出△AEF的周長；
（2）過A作AM⊥EF，設MF=x，則ME=5-x，根據勾股定理可知AM²=AF²-MF²=AE²-EM²，代入相應數值可以求出MF的長，進而可以求出△AEF的高AM的長，再利用三角形面積公式算出△AEF的面積．
點評：此題主要考查了正方形的性質，以及勾股定理的應用，關鍵是熟練掌握勾股定理，此題的難點是求△AEF的面積，解決問題的突破口是作出△AEF的高，設出未知數，算出FM的長度．