Question

已知，如圖，△ABO的頂點A是雙曲線與直線y=kx+b在第四象限內的交點，AB⊥x軸于點B，OA=，tan∠OAB=．另一交點為C（-8，n）．求：
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）若直線AC分別與x軸，y軸交于D，E兩點，且CD=t•DE，求t的值．

Answer 1

解：（1）設OB=x（x＞0），
∵tan∠OAB==，
∴AB=2x，
在Rt△OAB中，OB²+AB²=OA²，即x²+（2x）²=20，
解得：x=2，
即OB=2，AB=4，
∴點A的坐標為（2，-4），代入y=，得：m=-8，
故反比例函數解析式為：y=-；
將點C（-8，n）代入y=-，可得n=1，
則點C的坐標為（-8，1），
將點A、C的坐標代入一次函數解析式可得：，
解得：，
故一次函數解析式為：y=-x-3．

（2）過點C作CF⊥y軸于點F，則OF=1，
，
直線AC解析式為：y=-x-3，
令x=0，y=-3，則點E的坐標為（0，-3），OE=3，
∵OD∥CF，
∴==，
即CD=DE，
又∵CD=t•DE，
∴t=．
分析：（1）在Rt△OBA中，解直角三角形，求出OB，AB，得出點A的坐標，代入反比例函數解析式可求出m的值，再將點C的坐標代入，可求出n，利用待定系數法可求出函數解析式；
（2）過點C作CF⊥y軸，求出D、E的坐標，根據=，可得出t的值．
點評：本題考查了反比例函數與一次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式、解直角三角形及平行線的性質，第二問的關鍵是將問題轉化，轉化為求的值，注意數形結合思想的運用．