Question

【題目】如圖，△ABC、△ADC、△AMN均為等邊三角形，AM＞AB，AM與DC交于點E，AN與BC交于點F.

(1)試說明：△ABF≌△ACE；

(2)猜測△AEF的形狀，并說明你的結論；

(3)請直接指出當F點在BC何處時，AC⊥EF.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）△AEF為等邊三角形，證明見解析；（3）當點F為BC中點時，AC⊥EF.

【解析】

（1）由已知條件易得AB=AC，∠B=∠BAC =∠MAN=∠ACD=60°，進而可得∠BAF=∠CAE，由此即可證得△ACE≌△ABF；

（2）由（1）中所得△ACE≌△ABF可得AE=AF，結合∠MAN=60°即可得到△AEF是等邊三角形；

（3）當點F為BC中點時，根據“等腰三角形的三線合一”可得∠CAF=∠BAF=30°，結合∠EAF=60°可得∠CAE=∠CAF=30°，結合AE=AF即可得到此時AC⊥EF.

(1)∵△ABC、△ADC均為等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠BAC =∠DAC=∠ACD=60°

∴∠BAC－∠FAC=∠MAN－∠FAC，即∠BAF=∠CAE ，

∴△ACE≌△ABF（AAS）；

（2）△AEF為等邊三角形，

∵△ACE≌△ABF，

∴AE=AF，

∵△AMN為等邊三角形，

∴∠MAN=60°，

∴△AEF為等邊三角形；

（3）當點F為BC中點時，AC⊥EF ，理由如下：

∵點F是BC的中點，△ABC是等邊三角形，

∴AF平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴∠FAC=30°，

又∵△AEF是等邊三角形，

∴∠EAF=60°，

∴∠EAC=∠AEF-∠FAC=30°，

∴此時，AC平分∠EAF，

又∵△AEF是等邊三角形，

∴AC⊥EF.