Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為A（0，6）、B（-2，0）、C（6，0）
（1）求△ABC的外接圓⊙M的圓心M坐標；
（2）若動點P從B點出發，沿著射線BC方向運動，速度為每秒2個單位長度，動點Q從A點出發，沿著射線AC方向運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒過Q向x軸做垂線，垂足為G．連接MP，MG，△MPG的面積為s，求s與t的函數關系式．
（3）當t為何值時，s的值為4個平方單位？

Answer 1

分析：（1）根據外接圓圓心是中垂線的交點，可得出點M的坐標；
（2）先求出點P和點G重合時t的值，然后分兩種情況討論，①點P在點G左邊，②點P在點G右邊，分別得出s和t的表達式即可；
（3）根據（2）中的表達式，令s的值為4，解出t的值即可．

解答：解：（1）如圖所示：由題意得，OA=OC，
故AC的中垂線的解析式是y=x，BC的中垂線的解析式為x=2，
根據外接圓圓心是三角形三條邊中垂線的交點，
故可得點M的坐標為（2，2）．


（2）

由題意得，AQ=t，因為OA=OC，所以∠AQH=45°，
故點Q的橫坐標為

2

2

t，
當點P和點G重合時，OP=點Q_橫坐標，即2t-2=

2

2

t，
解得：t=

8+ 2

7

；
①當0＜t＜

8+2 2

7

時，

此時PG=OG+OP=2-2t+

2

2

t，
故S_△MPG=

1

2

GP•M_縱坐標=

1

2

[

2

2

t-（2t-2）]=1+

2 -4

4

t（0＜t＜

8+2 2

7

）；
②當t＞

8+2 2

7

時，

此時GP=OP-OG=2t-2-

2

2

t，
故S_△MPG=

1

2

GP•M_縱坐標=

1

2

（2t-2-

2

2

t）=

4- 2

4

t-1（t＞

8+2 2

7

）；
（3）當0＜t＜

8+2 2

7

時，令s=4，即1+

2 -4

4

t=4，
解得：t=-

6 2 +24

7

（不符合題意，舍去）；
②當t＞

8+2 2

7

時，令s=4，即

4- 2

4

t-1=4，
解得：t=

40+10 2

7

；
綜上可得：當t=

40+10 2

7

時，s的值為4個平方單位．

點評：此題屬于圓的綜合題目，涉及了三角形的外接圓、三角形的面積，本題的難點在第二問，關鍵是求出點P和點G重合時t的值，以此為分界點進行討論，難度較大，注意細心運算．