Question

【題目】如圖，一次函數y＝kx+b的圖象與反比例函數y＝的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C（﹣2，0），點A的縱坐標為6，AC＝3CB．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）請直接寫出不等式組＜kx+b＜4的解集；

（3）點P（x，y）是直線y＝k+b上的一個動點，且滿足（2）中的不等式組，過點P作PQ⊥y軸交y軸于點Q，若△BPQ的面積記為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）﹣3＜x＜0；（3）當m＝﹣時，S取得最大值，最大值為．

【解析】

（1）作AD⊥x軸、BE⊥x軸，設CE=a，則CD=2+a，證△ACD∽△BCE得，即，據此求得a的值即可得出點A的坐標，從而得出反比例函數解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線解析式，再結合函數圖象可得答案；

（3）設P（m，2m+4）（-3＜m＜0），知PQ=-m，△BPQ在PQ邊上的高為2m+6，根據三角形的面積公式得出S關于m的函數解析式，利用二次函數的性質求解可得．

（1）如圖所示，過點A作AD⊥x軸于點D，作BE⊥x軸于點E，

則∠ADC＝∠BEC＝90°，

設CE＝a，則CD＝2+a，

∵∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴，即，

解得：BE＝2，a＝1，

∴A（1，6），

∴反比例函數解析式為y＝；

（2）將A（1，6），C（﹣2，0）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴直線解析式為y＝2x+4，

又B（﹣3，﹣2），

∴不等式組＜kx+b＜4，即＜2x+4＜4的解集為﹣3＜x＜0；

（3）如圖所示，

設P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），

則PQ＝﹣m，△BPQ在PQ邊上的高為2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，

∴S＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，

∵﹣3＜m＜0，且拋物線的開口向下，

∴當m＝﹣時，S取得最大值，最大值為．