Question

已知：等邊△ABC中，AB、cosB是關于x的方程x²-4mx-

1

2

x+m²=0的兩個實數根．若D、E分別是BC、AC上的點，且∠ADE=60°，設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并說明當點D運動到什么位置時，y有最小值，并求出y的最小值．

Answer 1

分析：本題可先根據cosB的值求出AB的長，然后通過證△ABD和△DCE相似，得出關于AB，CD，BD，CE的比例關系式，即可得出關于y，x的函數關系式，然后根據函數的性質即可求出y的最小值．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴cosB=cos60°=

1

2

，
∴

AB+ 1 2 =4m+ 1 2 1 2 AB=m2

，
解得：m₁=0，m₂=2，
∵

1

2

AB=m²≠0，
∵m=0不合題意，舍去；
∴m=2即AB=8，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
又∠ADB+∠BAD=180°-∠B=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
設BD=x，EA=y則DC=8-x，CE=8-y，
∴

8

8-x

=

x

8-y

，
∴y=

1

8

x²-x+8=

1

8

（x-4）²+6．
∴當BD=4，即D為BC的中點時，EA有最小值6．

點評：本題考查了韋達定理，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質及二次函數的綜合應用等知識點．
通過相似三角形得出與所求線段相關的比例關系式是解題的關鍵．