Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥DF交AB于點E，連接EG、EF．
（1）求證：BG=CF；
（2）求證：EG=EF；
（3）請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BG∥AC，

∴∠C=∠GBD，

∵D是BC的中點，

∴BD=DC，

在△CFD和△BGD中

∴△CFD≌△BGD，

∴BG=CF．

（2）證明：∵△CFD≌△BGD，

∴DG=DF，

∵DE⊥GF，

∴EG=EF．

（3）BE+CF＞EF，

證明：∵△CFD≌△BGD，

∴CF=BG，

在△BGE中，BG+BE＞EG，

∵由（2）知：EF=EG，

∴BG+CF＞EF．

【解析】（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根據ASA證出△CFD≌△BGD即可．（2）根據全等得出GD=DF，根據線段垂直平分線性質得出即可．（3）根據全等得出BG=CF，根據三角形三邊關系定理求出即可．