Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點，作∠DEF=90°，EF交射線BC于點F．設BE=x，△BED的面積為y．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如果以線段BC為直徑的圓與以線段AE為直徑的圓相切，求線段BE的長；
（3）如果以B、E、F為頂點的三角形與△BED相似，求△BED的面積．

Answer 1

分析：（1）根據∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根據BC的長和∠B的正弦值，表示出BD邊上的高，再根據三角形BED的面積公式得出y，x的函數關系式；
（2）可先表示出AE的長，過AE的中點（設為O）作BC的垂線OG，可根據OG，GD的長，來表示出OD，然后根據兩圓外切和內切的不同，讓兩圓的半徑相加或相減后等于圓心距OD，得出關于x的方程，求出x的解；
（3）若兩三角形相似，則∠BEF=∠BDF．求△BED的面積就需要知道底邊和高，關鍵是求出BE的長，可通過構建相等的線段，來得出關于x的方程求解．
分別過E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根據∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE=∠FEB=∠FDE．
因此可得出EM=EH，可根據EM，EH的不同的表示方法，來得出含x的等式，從而求出x的值．
也就可以求出三角形BED的面積了．
∠BEF為銳角和鈍角的不同情況時，表示線段EM的式子會略有不同，但是思路是一致的，不要丟掉任何一種情況．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
過點E作EH⊥CB于H．
則可求得EH=

3

5

x．
∴y=

1

2

×4×

3

5

x=

6

5

x（0＜x≤

16

5

或5＜x≤10）．

（2）取AE的中點O，過點O作OG⊥BC于G，連接OD．
則OG=

3

5

OB=

3

5

×

10+x

2

=

3

10

（10+x），GD=CD-CG=4-

2

5

（10-x）=

2

5

x，
∴OD=

9 100 (10+x)2+ 4 25 x2

．
若兩圓外切，則可得

1

2

BC+

1

2

AE=OD，
∴（BC+AE）²=4OD²，
∴（8+10-x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=

20

3

．
若兩圓內切，得|

1

2

BC-

1

2

AE|=OD，
∴（BC-AE）²=4OD²，
∴（8-10+x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=-

20

7

（舍去），所以兩圓內切不存在．
所以，線段BE的長為

20

3

．

（3）由題意知∠BEF≠90°，故可以分兩種情況．
①當∠BEF為銳角時，
由已知以B、E、F為頂點的三角形與△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
過點D作DM⊥BA于M，過E作EH⊥BC于H．
根據等角的余角相等，可證得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=

16

5

-x，
由（1）知：EH=

3

5

x，
∴

16

5

-x=

3

5

x，
∴x=2．
∴y=

6

5

×2=

12

5

．
②當∠BEF為鈍角時，同理可求得x-

16

5

=

3

5

x，
∴x=8．
∴y=

6

5

×8=

48

5

．
所以，△BED的面積是

12

5

或

48

5

．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質、圓與圓的位置關系以及解直角三角形的應用等知識點．
注意（2）和（3）中都要分情況進行討論：（2）要分兩圓是內切還是外切，（3）要分∠BEF時鈍角還是銳角進行分類討論，不要丟掉任何一種情況．