Question

【題目】△ABC中，點O是AC上一動點，過點O作直線MN∥BC，若MN交∠BCA的平分線于點E，交∠DCA的平分線于點F，連接AE、AF．

⑴說明：OE＝OF

⑵當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，證明你的結論

⑶在⑵的條件下，當⊿ABC滿足什么條件時，四邊形AECF為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點O運動到AC的中點時，證明見解析；（3）△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，證明見解析.

【解析】

（1）利用平行線的特殊性質，內錯角相等，以及角平分線的性質，等量代換，最后求出；

（2）先證明平行四邊形，再證明對角線相等，推出四邊形為矩形；

（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形.

（1）∵MN∥BC，

∴，，

又已知CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，

∴，，

∴，，

∴，，

∴

（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．

∵當點O運動到AC的中點時，，

又∵，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵，

∴，

∴，即，

∴四邊形AECF是矩形;

（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．

∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，

已知MN∥BC，當，則

，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形.