Question

【題目】如圖，四邊形是一張矩形紙片，，把紙片對折，折痕為，展開后再過點折疊該紙片，使點落在上的點處，且折痕與相交于點，再次展平后，連接，，并延長交于點．

（1）求證：是等邊三角形；

（2）求，的長；

（3）為線段上一動點，是的中點，則的最小值是　　　　．（請直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）,；（3）

【解析】

（1）連接AG，根據垂直平分線的性質和折疊的性質得出AG＝AB＝BG，由此得出△ABG為等邊三角形，根據等邊三角形的性質和三角形內角和定理即可得出△EBF為等邊三角形．

（2）設AE=x，則BE=2x，根據勾股定理可求出AE的長度，則BE的長度可求，根據是等邊三角形求出BF的長度，利用三角形中位線即可求出QG的長度；

（3）根據題意可得出M點與H點關于BE所在直線對稱，所以P與Q重合時，PH+PG的值最小，最小值為MG的長度，進而問題可解．

（1）如圖，連接AG

∵MN垂直平分AB

∴AG＝BG

根據軸對稱的性質，可得

AB＝BG，

∴AG＝AB＝BG．

∴△ABG為等邊三角形．

∴∠ABE=30°,∠AEB=∠GEB=60°

又∵∠EBF=60°

∴△EBF為等邊三角形

（2）由（1）得∠ABE＝30°

設AE=x，則BE=2x

∵AB=2，

∴

即 ，

∵△EBF為等邊三角形

∴

（3）根據條件易知M點與H點關于BE所在直線對稱

∴P與Q重合時，PH+PG的值最小

又∵，

∴