Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y＝x²－x－10與x軸的交點為A，與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連結AC．現有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t(單位：秒)

（1）求A，C兩點的坐標和拋物線的頂點M坐標；
（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；
（3）當0<t<4.5時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；
（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

（1）A(18，0) C(8，－10) M (4，－)，（2），理由見解析（3）是定值，理由見解析（4）t＝－2，理由見解析解析:
（1）在y＝x²－x－10中，令y＝0，得x²－8x－180＝0．
解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)． …………………………1分
在y＝x²－x－10中，令x＝0，得y＝－10．
∴B(0，－10)．
∵BC∥x軸，∴點C的縱坐標為－10．
由－10＝x²－x－10得x＝0或x＝8．
∴C(8，－10)． ……………………………………………………2分
∵y＝x²－x－10＝(x－4)²－
∴拋物線的頂點坐標為(4，－)．………………………………3分
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．
∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．
解得t＝．…………………………………………………………5分
（3）設點P運動了t秒，則OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合．
∵QC∥OP，    ∴＝＝＝＝．
同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．
∴AF＝4t＝OP．
∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．
∴S_△PQF ＝PF·OB＝×18×10＝90
∴△PQF的面積總為定值90． …………………………………………7分
（4）設點P運動了t秒，則P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)  t在（0，4.5）．
∴PQ²＝(4t－8＋t)²＋10²＝(5t－8)²＋100
FQ²＝(18＋4t－8＋t)²＋10²＝(5t＋10)²＋100．
PF ²=324
①若FP＝FQ，則18²＝(5t＋10)²＋100．
即25(t＋2)²＝224，(t＋2)²＝．
∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．
∴t＝－2．
②若QP＝QF，則(5t－8)²＋100＝(5t＋10)²＋100．
即(5t－8)²＝(5t＋10)²，無0≤t≤4.5的t滿足．
③若PQ＝PF，則(5t－8)²＋100＝18²．
即(5t－8)²＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，
∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5²＝()²＝＜224．
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合題意，
故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．
綜上所述，當t＝－2時，△PQF為等腰三角形………………………………10分
（1）在y＝x²－x－10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x軸，可得點C的縱坐標為-10．由-10=x²－x－10可求C，由y=x²－x－10=
可求拋物線的頂點坐標
（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
（3）設點P運動了t秒，則OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合．由QC∥OP，可得＝＝＝＝．同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．代入三角形的面積公式S△PQF=PF•OB
（4）設點P運動了t秒，則P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．從而有PQ²=（4t-8+t）²+10²=（5t-8）²+100，FQ²=（18+4t-8+t）²+10²=（5t+10）²+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分別進行求解