Question

在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．

（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是（    ）；此時=（    ）；
（2）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DM?DN時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=（    ）（用x、L表示）．

Answer 1

解：（1）如圖，BM、NC、MN之間的數量關系BM+NC=MN．此時． （2）猜想：結論仍然成立． 證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°． 又△ABC是等邊三角形， ∴∠MBD=∠NCD=90°． 在△MBD與△ECD中： ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE． ∴∠EDN=∠BDC﹣∠MDN=60°． 在△MDN與△EDN中：， ∴△MDN≌△EDN（SAS）． ∴MN=NE=NC+BM． △AMN的周長Q =AM+AN+MN =AM+AN+（NC+BM） =（AM+BM）+（AN+NC） =AB+AC =2AB． 而等邊△ABC的周長L=3AB． ∴． （3）如圖，當M、N分別在AB、CA的延長線上時，若AN=x， 則Q=2x+（用x、L表示）．