Question

如圖，反比例函數的圖象經過邊長為3正方形OABC的頂點B，點P（m，n）為該函數圖象上的一動點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，設矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S（即圖中陰影部分的面積）．
（1）求k的值；
（2）當m=4時，求n和S的值；
（3）求S關于m的函數解析式．

Answer 1

解：（1）由題意可知點B的坐標為：（3，3），將其代入中，得：
，
解得：k=9；

（2）由（1）知反比例函數的解析式為，把（4，n）
代入，得n=，
如圖1，則S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN=3×（3-）+（4-3）×=4.5；



（3）分兩種情況：∵點P（m，n）為該函數y=圖象上的一動點，
∴n=，
如圖2，當0＜m＜3時，S=S_矩形PFCN+S_矩形BNEA
=PF•FC+AB•BN
=m（-3）+3×（3-m）
=18-6m，
如圖1，當m＞3時，S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN
=BC•BN+PE•AE
=3×（3-）+（m-3）
=18-．
分析：（1）由題意可知點B的坐標為：（3，3），將其代入中，得出函數解析式即可；
（2）把（4，n）代入，求出N的值即可，再利用S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN進而求出即可；
（3）利用當0＜m＜3時，S=S_矩形PFCN+S_矩形BNEA，當m＞3時，S=S_矩形BCFN+S_矩形AEPN，分別求出即可．
點評：此題主要考查了反比函數的綜合應用以及矩形面積求法等知識，正確利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．