Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BAC=20°，點D是劣弧

AC

上一點，過D作DE⊥AB，垂足E，交直線AC于F，直線DB交直線AC于點G，使△DFG成為等腰三角形的點D有

3

個．

Answer 1

分析：由AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BAC=20°，點D是劣弧

AC

上一點，過D作DE⊥AB，可證得∠ADB=90°，∠GFD=∠AFE=90°-20°=70°，然后分別從①當∠ADE=20°時，②當∠ADE=50°時，③當∠ADE=35°時，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB，
∵∠BAC=20°，
∴∠GFD=∠AFE=90°-20°=70°，
①當∠ADE=20°時，∠GDF=90°-20°=70°，
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=FG，
即△DFG成為等腰三角形；
②當∠ADE=50°時，則∠GDF=40°，
∴∠DGF=180°-∠GDF-∠GFD=70°，
∴∠GFD=∠DGF，
∴DF=DG，
即△DFG成為等腰三角形；
③當∠ADE=35°時，則∠GDF=55°，
∴∠DGF=180°-∠GDF-∠GFD=55°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴DF=FG，
即△DFG成為等腰三角形；
∴使△DFG成為等腰三角形的點D有3個．
故答案為：3．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握分類討論思想與數形結合思想的應用．